三乗の公式一覧を完全攻略！展開・因数分解の使い分けと覚え方【2026年版】

三乗の公式一覧を完全攻略！展開・因数分解の使い分けと覚え方【2026年版】

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三乗の公式は、数学の展開・因数分解でつまずきやすい単元の一つです。特に、（a＋b）³と（a−b）³の符号の違いや、a³＋b³とa³−b³を因数分解するときの二次式の符号は、暗記だけに頼ると混同しやすいポイントです。

2026年に高校数学を学ぶ人や、定期テスト・模試に向けて復習したい人は、4つの公式を一覧で覚えるだけでなく、式の形から使う公式を判断する方法まで身につけておくと、計算の正確さが変わります。ここでは、公式の導き方、途中式つきの計算問題、練習問題、間違えやすいポイントを順番に整理します。

📌 【この記事の重要ポイントまとめ】

• 要点1：三乗の基本公式は、展開の2種類と因数分解の2種類、合計4つ。
• 要点2：展開の係数は「1・3・3・1」。因数分解では、かっこの外側と内側の符号を区別する。
• 要点3：公式を忘れても、二乗の公式と分配法則から導き直せる。計算後に符号と次数を確認することがミス防止につながる。

【三乗の公式一覧】まず覚えるべき4つの基本形

三乗の公式は、大きく「展開」と「因数分解」に分かれます。展開は積の形から和の形へ変える操作、因数分解は和の形を積の形に戻す操作です。まずは次の4つをセットで押さえましょう。

ここでいう立方とは、ある数や式を3回かけ合わせたものです。例えば、a³はa×a×aを表します。a³＋b³はそれぞれを3乗してから足した式であり、（a＋b）³とは別の式です。

最初に区別したいのは、（a＋b）³とa³＋b³は同じではないという点です。前者はかっこ全体を3乗するため、展開するとa²bやab²の項も現れます。後者はa³とb³を足した式なので、因数分解の公式を使います。

【使い分けを解説】展開と因数分解、符号はどう見分ける？

公式を選ぶときは、最初に式の形を見ます。かっこの外に3乗が付いているのか、それとも3乗された項どうしが足し引きされているのか。この違いを判断するだけで、使う公式はほぼ決まります。

展開公式は「かっこの外にある3乗」が目印

（a＋b）³や（a−b）³のように、かっこ全体に3乗が付いていたら展開公式を使います。どちらも係数は「1・3・3・1」で共通です。

（a＋b）³＝a³＋3a²b＋3ab²＋b³

（a−b）³＝a³−3a²b＋3ab²−b³

差の展開では、第1項のa³はプラス、第2項の3a²bはマイナス、第3項の3ab²はプラス、第4項のb³はマイナスです。つまり、符号は「＋・−・＋・−」と交互になります。

進研ゼミ高校講座の三乗の展開公式の解説でも、係数「1・3・3・1」と、差の展開で第2項と第4項がマイナスになる点が整理されています。係数と符号を別々に確認することが、暗記の混乱を防ぐ手がかりになります。

因数分解公式は「3乗された項の和・差」が目印

a³＋b³やa³−b³のように、3乗された項が足し引きされている場合は、立方和・立方差の公式を使います。

立方和の公式：

a³＋b³＝（a＋b）（a²−ab＋b²）

立方差の公式：

a³−b³＝（a−b）（a²＋ab＋b²）

因数分解では、かっこの外側と内側の符号を分けて考えるのがコツです。

• a³＋b³：外側は（a＋b）、内側の中央は−ab。
• a³−b³：外側は（a−b）、内側の中央は＋ab。

「外側の符号は元の和・差と同じ、内側のabの符号は反対」と覚えると、2つの公式を区別しやすくなります。内側のa²とb²は、どちらの公式でもプラスです。

【公式の導き方】暗記に頼らず、自分で式を作る方法

三乗の公式は、二乗の公式と分配法則から導けます。公式を丸ごと忘れてしまっても、途中の計算を再現できれば答えを出せます。

（a＋b）³の展開公式を導く

まず、三乗を「二乗した式に、もう一度同じ式をかける」と考えます。

（a＋b）³＝（a＋b）²（a＋b）

二乗の公式から、

（a＋b）²＝a²＋2ab＋b²

したがって、

（a＋b）³＝（a²＋2ab＋b²）（a＋b）

それぞれの項を分配法則で展開すると、

＝a³＋a²b＋2a²b＋2ab²＋ab²＋b³

同類項をまとめれば、

＝a³＋3a²b＋3ab²＋b³

これで（a＋b）³の公式が導けました。係数が3になるのは、展開したときにa²bとab²がそれぞれ3つずつ集まるためです。

（a−b）³はbを−bに置き換える

和の展開公式が分かれば、差の公式も導けます。先ほどの式のbを−bに置き換えます。

（a＋（−b））³＝a³＋3a²（−b）＋3a（−b）²＋（−b）³

ここで、（−b）²＝b²、（−b）³＝−b³です。よって、

（a−b）³＝a³−3a²b＋3ab²−b³

二乗ではマイナスが消え、三乗ではマイナスが残ります。この違いが、差の展開で符号が「＋・−・＋・−」となる理由です。

立方和・立方差の因数分解も分配法則で確かめる

立方和の公式を確認してみましょう。

（a＋b）（a²−ab＋b²）

＝a³−a²b＋ab²＋a²b−ab²＋b³

＝a³＋b³

途中の−a²bと＋a²b、＋ab²と−ab²がそれぞれ打ち消し合います。そのため、立方和の因数分解では、二次式の中央が−abになります。

同様に、立方差は次のように確かめられます。

（a−b）（a²＋ab＋b²）

＝a³＋a²b＋ab²−a²b−ab²−b³

＝a³−b³

こちらも中央の項が打ち消し合います。公式の形を覚えるだけでなく、展開して元の式に戻ることを確認すると、符号の理由まで理解できます。

【三乗の公式の計算問題】途中式つきで使い方を確認

公式の形を覚えたら、文字や係数が入った問題で使えるかを確認しましょう。ここでは、展開と因数分解の代表的な計算例を紹介します。

例題1：（2x＋3）³を展開する

公式のaに2x、bに3を当てはめます。

（2x＋3）³

＝（2x）³＋3（2x）²×3＋3（2x）×3²＋3³

＝8x³＋36x²＋54x＋27

答えは8x³＋36x²＋54x＋27です。2xを含む項では、（2x）²＝4x²、（2x）³＝8x³のように、係数もそれぞれ二乗・三乗する点に注意してください。

例題2：（2x−1）³を展開する

差の展開公式にa＝2x、b＝1を代入します。

（2x−1）³

＝（2x）³−3（2x）²×1＋3（2x）×1²−1³

＝8x³−12x²＋6x−1

答えは8x³−12x²＋6x−1です。第2項と第4項がマイナス、第3項はプラスになります。すべての項をマイナスにしないようにしましょう。

例題3：x³＋8を因数分解する

まず、8を2³に直します。

x³＋8＝x³＋2³

立方和の公式にa＝x、b＝2を当てはめると、

＝（x＋2）（x²−2x＋2²）

＝（x＋2）（x²−2x＋4）

答えは（x＋2）（x²−2x＋4）です。定数の8をそのまま公式に入れるのではなく、2³と見抜くことがポイントです。

例題4：8x³−27y³を因数分解する

それぞれを立方の形に直します。

8x³−27y³＝（2x）³−（3y）³

立方差の公式を使うと、

＝（2x−3y）｛（2x）²＋（2x）（3y）＋（3y）²｝

＝（2x−3y）（4x²＋6xy＋9y²）

答えは（2x−3y）（4x²＋6xy＋9y²）です。外側のかっこは元の差を保ち、内側の中央項はプラスになります。

練習問題：公式を選んで解いてみよう

次の問題は、どの公式を使うかを先に判断してから計算してみてください。

• 問題1：（x＋2）³を展開する。
• 問題2：（x−3）³を展開する。
• 問題3：27x³＋8を因数分解する。
• 問題4：8a³−b³を因数分解する。

解答

問題1：x³＋6x²＋12x＋8

問題2：x³−9x²＋27x−27

問題3：（3x＋2）（9x²−6x＋4）

問題4：（2a−b）（4a²＋2ab＋b²）

解答を確認するときは、答えだけでなく、係数と符号が公式どおりになっているかも見直しましょう。

【間違えやすいポイント】符号・係数・次数のミスを防ぐ

三乗の公式で起こりやすいミスは、公式を知らないことよりも、覚えた形を途中の計算で崩してしまうことにあります。特に次の点を意識すると、計算の見直しがしやすくなります。

間違い1：二乗の公式と混同する

（a＋b）²＝a²＋2ab＋b²と、（a＋b）³＝a³＋3a²b＋3ab²＋b³は別の公式です。三乗の式に二乗の公式をそのまま当てはめると、項が不足します。

かっこの外に付いている指数を最初に確認し、2乗なら3項、3乗なら4項になるという基本を押さえましょう。

間違い2：（a−b）³の符号をすべてマイナスにする

差の展開は「＋・−・＋・−」です。3ab²の項はプラスであり、マイナスにはなりません。bが二乗されているため、負の符号が消えることが理由です。

間違い3：立方和・立方差の中央項を逆にする

a³＋b³の因数分解では中央項が−ab、a³−b³では＋abです。外側のかっこの符号だけで判断せず、内側の二次式も必ず確認してください。

間違い4：係数を3乗し忘れる

（2x）³は2x³ではなく8x³です。文字だけでなく、数の係数も3乗する必要があります。同様に、（3y）²は9y²です。

間違い5：公式を使う前の形の整理が不十分

例えば、8x³＋27は（2x）³＋3³と見れば立方和の公式が使えます。式を見たら、各項が何の3乗なのかを探す習慣をつけましょう。

計算後のチェックには、次の3点が役立ちます。

• 展開なら、4つの項がそろっているか。
• 係数や指数を正しく計算しているか。
• 因数分解なら、展開し直すと元の式に戻るか。

【プロの結論】三乗の公式の覚え方は「形・係数・符号」の順

三乗の公式を効率よく覚えるには、4つの式を別々に丸暗記するよりも、共通点と違いを分けて記憶する方法が有効です。

覚え方1：展開の係数は「1・3・3・1」

（a＋b）³と（a−b）³は、どちらも係数が1・3・3・1です。まず係数の並びを覚え、次に符号を確認します。

（a＋b）³：＋・＋・＋・＋

（a−b）³：＋・−・＋・−

このように係数と符号を別々に覚えると、差の展開で符号が混乱しにくくなります。係数1・3・3・1は、パスカルの三角形に現れる並びとして覚える方法もあります。

覚え方2：因数分解は外側を先に決める

立方和・立方差の因数分解では、最初に外側のかっこを決めます。

a³＋b³なら（a＋b）

a³−b³なら（a−b）

次に、内側にはa²とb²を置き、中央のabは外側と反対の符号にします。この順番を固定すると、立方和と立方差を混同しにくくなります。

覚え方3：毎回、公式を1つ導いてみる

公式を見て覚えるだけでなく、（a＋b）³を二乗の公式から展開したり、（a＋b）（a²−ab＋b²）を分配法則で計算したりすると、係数や符号の理由まで身につきます。

特に、公式を忘れると手が止まってしまう人には、導き方を覚える方法がおすすめです。一方、すでに公式を使いこなせる人は、毎回すべてを導く必要はありません。問題の形を判断して公式を適用し、最後に必要な部分だけ検算する方法が効率的です。

【プロの結論】 三乗の公式で優先すべきなのは、4つの式を機械的に暗記することではなく、「展開か因数分解か」「和か差か」を見分ける手順を固定することです。形を判断し、係数と符号を当てはめ、最後に展開して確かめる。この3段階を繰り返せば、基本問題から係数の大きい応用問題まで対応しやすくなります。

【三乗の公式】に関するよくある質問（FAQ）

Q1：三乗の公式は何個覚えればよいですか？
A1：まずは（a＋b）³、（a−b）³、a³＋b³、a³−b³の4つを覚えましょう。前半2つが展開、後半2つが因数分解の公式です。

Q2：（a＋b）³とa³＋b³は何が違いますか？
A2：（a＋b）³は和全体を3乗した式なので、展開すると3a²bや3ab²が現れます。一方、a³＋b³はそれぞれを3乗した項の和です。前者には展開公式、後者には立方和の因数分解公式を使います。

Q3：立方和と立方差の因数分解を簡単に覚える方法はありますか？
A3：外側のかっこを元の式の和・差と同じ符号にし、内側の中央項abは反対の符号にします。a²とb²はどちらもプラスです。

Q4：（a−b）³で、なぜ3ab²はプラスなのですか？
A4：（a−b）³はbを−bに置き換えた展開公式です。第3項には（−b）²が含まれ、二乗すると正になるため、3ab²はプラスになります。

Q5：三乗の公式を忘れたときは、どうすればよいですか？
A5：展開なら（a＋b）³＝（a＋b）²（a＋b）と書き直し、二乗の公式と分配法則を使います。因数分解なら、公式の候補を展開して元の式に戻るか確認できます。

まとめ：三乗の公式は使い分けと検算で身につける

三乗の公式は、展開の2種類と因数分解の2種類をセットで理解すると整理しやすくなります。展開では係数1・3・3・1を共通の土台にし、差の展開では符号が「＋・−・＋・−」になる点を押さえましょう。

因数分解では、立方和なら（a＋b）、立方差なら（a−b）を外側に置き、内側の中央項の符号を反対にします。さらに、公式の導き方を理解しておけば、暗記があいまいな場面でも自分で式を再現できます。

まずは基本の4公式を見ずに書き、展開問題と因数分解問題をそれぞれ解いてみてください。答え合わせでは、係数・符号・指数を確認し、因数分解は展開し直して元の式に戻るか検算することが、確実な定着への近道です。 （出典: 三 乗 の 公式（Yahoo!ニュース））